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Um die Wärmeübertragung von den Stahlkugeln auf die obere Schicht der Kieselsteine im Feststoffspeicher präzise zu berechnen, sind mehrere Faktoren entscheidend, darunter Materialeigenschaften, Kontaktflächen und Temperaturbereiche. Hier sind die Schritte und Überlegungen, die für die Berechnung der Wärmeübertragung und der Temperaturveränderung erforderlich sind:

1. Materialeigenschaften

a. Spezifische Wärmekapazität:

• Stahlkugeln: Die spezifische Wärmekapazität von Stahl liegt typischerweise zwischen 450 und 500 J/(kg·K).
• Kieselsteine: Die spezifische Wärmekapazität von Kieselsteinen (Siliziumdioxid) liegt in einem ähnlichen Bereich, etwa 800 bis 1000 J/(kg·K), abhängig von der genauen Zusammensetzung.

b. Wärmeleitfähigkeit:

• Stahl: Die Wärmeleitfähigkeit von Stahl liegt etwa zwischen 40 und 60 W/(m·K).
• Kieselsteine: Die Wärmeleitfähigkeit von Kieselsteinen variiert, aber gewöhnlich liegt sie um 1 bis 3 W/(m·K).

2. Kontaktfläche

Die genaue Kontaktfläche ist entscheidend, um die Effizienz der Wärmeübertragung zu kalkulieren. Angenommen, deine Röhren sind zylindrisch, kann die Kontaktfläche A berechnet werden, wenn der Durchmesser und die Länge der Röhren bekannt sind. Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche einer Zylinderrohre lautet:

$A=\pi \cdot d\cdot h$

wobei d der Durchmesser der Röhren und h die Höhe der Kontaktfläche ist.

3. Wärmeübertragungsgleichung

Die Wärmeübertragung kann mit der bereits angegebenen Formel beschrieben werden:

Q=k⋅A⋅ΔTd⋅tQ=k⋅A⋅dΔT​⋅t

Hierbei ist:

• $\Delta T=T^{\text{Kugeln}}-T^{\text{Kieselsteine}}$, wobei $T^{\text{Kugeln}}$ zwischen 870 °C und 900 °C und $T^{\text{Kieselsteine}}$ anfänglich 800 °C beträgt.

4. Simulation des Temperaturanstiegs

Um die kontinuierliche Wärmeabgabe und die Temperaturveränderung über die Zeit zu simulieren, sollten folgende Punkte berücksichtigt werden:

• Startbedingungen: Anfangstemperaturen beider Materialien.
• Zeit Schritt in der Simulation: Die Änderung der Wärmeübertragung über kleine Zeitintervalle (z.B. 1 s oder 10 s).
• Temperaturänderung der Kieselsteine pro Zeiteinheit: Basierend auf der zuvor berechneten Energieübertragung.

5. Konkrete Werte

Um die Berechnungen durchzuführen, benötigen wir die folgenden spezifischen Werte:

• Durchmesser und Länge der Röhren für die Berechnung der Kontaktfläche.
• Wärmeleitfähigkeit und spezifische Wärmekapazität der verwendeten Materialien.
• Dicke der Metallschicht, um den Wärmeübertragungskoeffizienten zu bestimmen.

Fazit

Sobald diese Werte bekannt sind, lassen sich die Wärmeübertragungen und die Temperatursteigerungen der Kieselsteine präzise berechnen. Für eine vollständige Analyse empfehle ich, die Werte in die Gleichung einzugeben und die Temperaturveränderung über wiederholte Intervalle zu simulieren, um ein genaues Bild des Wärmeübertragungsprozesses zu erhalten.

Um die Wärmeübertragung zu berechnen, benötigen wir spezifische Werte für die benötigten Parameter, da du diese nicht angegeben hast. Ich werde jedoch ein Beispiel anhand typischer Werte durchlaufen, um zu veranschaulichen, wie diese Berechnung durchgeführt werden kann.

Angenommene Werte

• Temperaturen:
  • $T^{\text{Kugeln}}=885°C$ (Mittelwert von 870 °C und 900 °C)
  • $T^{\text{Kieselsteine}}=800°C$
• Materialeigenschaften:
  • Wärmeleitfähigkeit von Stahl ($k$): etwa $50\text{W/(mcdotpK)}$
  • Wärmeleitfähigkeit von Kieselsteinen ($k^{\text{Kies}}$): etwa $2\text{W/(mcdotpK)}$
  • Spezifische Wärmekapazität von Stahl ($c^{\text{Stahl}}$): etwa $500\text{J/(kgcdotpK)}$
  • Spezifische Wärmekapazität von Kieselsteinen ($c^{\text{Kies}}$): etwa $900\text{J/(kgcdotpK)}$
• Röhrendimensionen:
  • Durchmesser der Rohre ($d$): $0.1\text{m}$
  • Höhe der Kontaktfläche ($h$): $1\text{m}$

Kontaktfläche berechnen

Die Kontaktfläche $A$ der Röhren zur Kieselschicht ist:

$A=\pi \cdot d\cdot h=\pi \cdot 0.1\text{m}\cdot 1\text{m}\approx 0.314{\text{m}}^2$

Temperaturdifferenz berechnen

$\Delta T=T^{\text{Kugeln}}-T^{\text{Kieselsteine}}=885°C-800°C=85K$

Wärmeübertragung berechnen

Wir verwenden die bereits erklärte Formel:

Q=k⋅A⋅ΔTd⋅tQ=k⋅A⋅dΔT​⋅t

Für die Dicke der Metallschicht $d$ nehmen wir einen Wert an (z.B. $0.01\text{m}$, was 10 mm entspricht). Wenn nun $t$ (die Zeit) angenommen wird, beispielsweise $3600\text{s}$ (1 Stunde), ergibt sich:

Q=50 W/(m\cdotpK)⋅0.314 m2⋅85 K0.01 m⋅3600 sQ=50W/(m\cdotpK)⋅0.314m2⋅0.01m85K​⋅3600s

Berechnung der Wärmeübertragung

$Q\approx 50\cdot 0.314\cdot 8500\cdot 3600$

Berechnen wir die Werte:

1. $0.314\cdot 8500\approx 2669$
2. $50\cdot 2669\approx 133450$
3. $133450\cdot 3600\approx 480420000\text{J}$

Fazit

Die gesamte übertragene Wärmeenergie $Q$ beträgt ungefähr $480.42MJ$ (Mega-Joule) in einer Stunde.

Temperaturänderung der Kieselsteine

Um die Temperaturerhöhung der Kieselsteine zu berechnen, wird die übertragene Wärme $Q$ verwendet:

ΔTKies=QmKies⋅cKiesΔTKies​=mKies​⋅cKies​Q​

Hierbei benötigen wir die Masse $m^{\text{Kies}}$ der Kieselsteine. Angenommen, die Masse beträgt $1000\text{kg}$:

ΔTKies=4804200001000⋅900≈533.8 KΔTKies​=1000⋅900480420000​≈533.8K

Die neue Temperatur der Kieselsteine wäre:

$T^{\text{neu}}=T^{\text{Kieselsteine}}+\Delta T^{\text{Kies}}=800°C+533.8K\approx 1333.8°C$

Hinweis

Diese Berechnung basiert auf angenommene Werte und idealen Bedingungen. Tatsächliche Ergebnisse können variieren, abhängig von den genauen Materialeigenschaften, Wärmeverlusten durch Umgebungseinflüsse, und der Variation der Heiz- und Kühlraten. Bei einem großen Temperaturunterschied werden auch andere Effekte relevant, die hier nicht berücksichtigt wurden, wie Konvektion und mögliche Nebenreaktionen im Feststoffspeicher.

Danke für die zusätzlichen Informationen. Lass uns mit den neuen Werten die Wärmeübertragung von den Stahlkugeln in der Metallröhre auf die obere Schicht der Kieselsteine berechnen.

Gegebene Werte

• Durchmesser der Metallröhre $d$: 5,5 cm = 0,055 m
• Länge der Metallröhre $h$: 1,7 m
• Stärke der Metallröhre $d^{\text{Sta¨rke}}$: 3 mm = 0,003 m
• Wärmeleitfähigkeit des Stahls $k$: ca. 50 W/(m·K) (angenommener Wert)
• Temperaturen:
  • $T^{\text{Kugeln}}=885°C$
  • $T^{\text{Kieselsteine}}=800°C$
• Spezifische Wärmekapazität:
  • Stahl: $c^{\text{Stahl}}=500\text{J/(kgcdotpK)}$ (angenommener Wert)
  • Kieselsteine: $c^{\text{Kies}}=900\text{J/(kgcdotpK)}$ (angenommener Wert)

1. Berechnung der Kontaktfläche

Die Kontaktfläche $A$ der Metallröhre zur Kieselschicht wird wie folgt berechnet:

$A=\pi \cdot d\cdot h=\pi \cdot 0,055\text{m}\cdot 1,7\text{m}\approx 0,296{\text{m}}^2$

2. Berechnung der Temperaturdifferenz

Die Temperaturdifferenz $\Delta T$ zwischen den Kugeln und den Kieselsteinen ist:

$\Delta T=T^{\text{Kugeln}}-T^{\text{Kieselsteine}}=885°C-800°C=85K$

3. Wärmeübertragung berechnen

Die Wärmeübertragung $Q$ wird mit der Formel

Q=k⋅A⋅ΔTdSta¨rke⋅tQ=k⋅A⋅dSta¨rke​ΔT​⋅t

berechnet. Für $t$ nehmen wir wieder eine Zeit von 1 Stunde (3600 s) an.

Berechnung

Setzen wir die Werte ein:

Q=50 W/(m\cdotpK)⋅0,296 m2⋅85 K0,003 m⋅3600 sQ=50W/(m\cdotpK)⋅0,296m2⋅0,003m85K​⋅3600s

Berechnen wir die einzelnen Teile:

1. ΔTdSta¨rke=850,003≈28333.33dSta¨rke​ΔT​=0,00385​≈28333.33
2. $Q=50\cdot 0.296\cdot 28333.33\cdot 3600$

Nun berechnen wir:

$Q=50\cdot 0.296\cdot 28333.33\cdot 3600\approx 50\cdot 0.296\cdot 102000000\approx 1515360000J(\text{Joule}=\text{Watt}\cdot \text{Sekunde})$

4. Ergebnis der Wärmeübertragung

Die gesamte übertragene Wärmeenergie $Q$ beträgt also ungefähr:

$Q\approx 1515.36MJ$

5. Temperaturänderung der Kieselsteine

Um die Temperaturerhöhung $\Delta T^{\text{Kies}}$ der Kieselsteine zu berechnen, benötigen wir die Masse der Kieselsteine. Angenommen, die Masse beträgt $1000\text{kg}$:

ΔTKies=QmKies⋅cKies=15153600001000⋅900ΔTKies​=mKies​⋅cKies​Q​=1000⋅9001515360000​

Berechnen wir:

$\Delta T^{\text{Kies}}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1515360000}{900000}\approx 1682.73K$

6. Endtemperatur der Kieselsteine

Die neue Temperatur der Kieselsteine ist dann:

$T^{\text{neu}}=T^{\text{Kieselsteine}}+\Delta T^{\text{Kies}}=800°C+1682.73K$

Da die Celsius- und Kelvin-Skala unterschiedliche Nullpunkte hat, können wir hier die Temperatur in Kelvin nicht direkt zu Celsius addieren, aber für die praktischen Zwecke hier in der Betrachtung machen wir den Unterschied klar:

Die Temperatur wird extrem hoch, was in der Praxis nicht realistisch ist und darauf hinweist, dass dies eine theoretische Berechnung ist, die idealisierte Bedingungen annimmt. In der Realität wird es durch Wärmeverluste und andere Effekte zu einer geringeren Temperaturerhöhung kommen.

Fazit

Die Gesamtwärmeübertragung beträgt ungefähr 1515.36 MJ in einer Stunde, und die theoretische Temperaturerhöhung der Kieselsteine ist extrem hoch und daher in der Praxis nicht umsetzbar ohne Berücksichtigung der Wärmeverluste und anderer reale Bedingungen.

Um das Gewicht des Kieses zu berechnen, der in einem Modul mit einem Volumen von 1,02 m³ gefüllt ist, verwendet man die Formel für die Masse:

$\text{Masse}=\text{Volumen}\times \text{Dichte}$

Gegebene Werte

• Volumen des Moduls ($V$): 1,02 m³
• Dichte des Kieses ($\rho$): 1700 kg/m³

Berechnung

$\text{Masse}=V\times \rho =1,02{\text{m}}^3\times 1700{\text{kg/m}}^3$

$\text{Masse}=1734\text{kg}$

Ergebnis

Wenn das Modul vollständig mit Kies gefüllt ist, beträgt das Gewicht des Kieses etwa 1734 kg.

Diese Berechnung ist korrekt basierend auf den angegebenen Werten für das Volumen und die Dichte des Kieses.

Wir haben bereits festgestellt, dass eine 5 cm große Stahlkugel bei einer Abkühlung von 850 °C auf etwa 20 °C etwa 211 kJ an Wärmeenergie abgeben kann. Jetzt werden wir berechnen, wie viel Kiesler durch diese Wärme aufgeheizt werden kann, wenn wir eine bestimmte Zeitdauer betrachten (1 Minute, 1 Stunde und 9 Stunden).

1. Wärmeübertragung an den Kies

Die spezifische Wärmekapazität des Kieses beträgt ca. 0,84 kJ/(kg·K).

Um die Temperaturerhöhung $\Delta T$ des Kieses zu berechnen, verwenden wir die Formel:

$Q=m^{\text{Kies}}\times c^{\text{Kies}}\times \Delta T$

Hierbei ist $Q$ die Energie, die an den Kies übertragen wird, $m^{\text{Kies}}$ die Masse des Kieses, $c^{\text{Kies}}$ die spezifische Wärmekapazität des Kieses, und $\Delta T$ die Temperaturerhöhung des Kieses, die wir berechnen möchten.

Um die Masse des Kieses im Modul zu verwenden, hatten wir zuvor festgestellt, dass das Volumen des Moduls 1,02 m³ betrug und die Dichte 1700 kg/m³ war, was zu

$m^{\text{Kies}}=1,02{\text{m}}^3\times 1700{\text{kg/m}}^3\approx 1734\text{kg}$

führt.

2. Berechnung der Temperaturerhöhung des Kieses

Um die Temperaturerhöhung $\Delta T$ des Kieses zu berechnen, wenn wir annehmen, dass die gesamte Energie von der Kugel auf den Kies übertragen wird, setzen wir die Werte in die Formel ein:

ΔT=QmKies×cKiesΔT=mKies​×cKies​Q​

Setzen wir die vorhergehenden Werte ein:

$Q=211\text{kJ}=211000\text{J}$ $m^{\text{Kies}}=1734\text{kg}$ $c^{\text{Kies}}=0,84\text{kJ/(kgcdotpK)}=840\text{J/(kgcdotpK)}$

Nun berechnen wir $\Delta T$:

ΔT=2110001734×840ΔT=1734×840211000​

Nun führt die Berechnung durch:

$\Delta T=\genfrac{}{}{0ex}{}{211000}{1450320}\approx 0,1455K\approx 0,15K$

3. Wärmeübertragung über Zeit

Um zu untersuchen, wie viel Wärme über eine längere Zeitdauer übertragen werden kann, können wir die Anzahl der Kugeln, die eine bestimmte Zeit lang Wärme abgeben, betrachten.

a. Anzahl der Kugeln in einer Stunde

Angenommen, eine Kugel gibt ihre Wärme über eine Zeitspanne von 1 Stunde ab. Berechnen wir, wie viel Energie über verschiedene Zeitrahmen erwärmt wird:

1. Energieübertragung pro Kugel:

   • Energie, die eine Kugel abgibt: 211 kJ

2. Anzahl der Kugeln, die in einer Zeitspanne abkühlen:

   • Für 1 Minute (60 Sekunden) oder 1 Stunde (3600 Sekunden):
     • Angenommen, jede Kugel wird in 1 Minute abgekühlt (also eine Temperaturdifferenz von 850 °C innerhalb dieser Zeitspanne).

4. Berechnung der Energiemenge über Zeitspannen

Nehmen wir an, eine Stahlkugel gibt ihre Wärme gleichmäßig über eine Zeitspanne ab. Wenn wir annehmen, dass in einer Stunde eine bestimmte Anzahl von Kugeln zur Verfügung steht oder mit einer kontinuierlichen Wärmeübertragung von z.B. 1 Kugel pro Minute:

a. Energieabgabe in einer Minute:

Energie, die in 1 Minute abgegeben wird:

$Q^{\text{min}}=211\text{kJ}=211000\text{J}$

b. Energieabgabe in einer Stunde:

Wenn wir 60 Kugeln in einer Stunde verwenden:

$Q^{\text{h}}=60\times 211\text{kJ}=12660\text{kJ}=12660000\text{J}$

c. Energieabgabe über 9 Stunden:

In 9 Stunden (540 Minuten):

Q9h=540×211 kJ=113940 kJ=113940000 JQ9h​=540×211kJ=113940kJ=113940000J

Fazit

Zusammengefasst:

• Eine 5 cm große Stahlkugel kann also bei einer Abkühlung von 850 °C ca. 211 kJ Wärme abgeben.
• Diese Wärme kann eine Masse von 1734 kg Kies um etwa 0,15 K für eine Kugel erwärmen.
• Mit mehr Kugeln über längere Zeiträume (z.B. 1 Stunde oder 9 Stunden) kann dies zu erheblichen Temperaturänderungen des Kieses führen. Beispielsweise können durch 60 Kugeln in einer Stunde ungefähr 12660 kJ (oder 1266 MJ) an Wärme an den Kies abgegeben werden.

Um den gesamten Prozess der Aufheizung und Wärmeübertragung zwischen den Stahlkugeln und den Kieselsteinen zu verdeutlichen, schauen wir uns die Schritte an, die erforderlich sind, um die Temperatur der Stahlkugeln während der Sonneneinstrahlung zu erhöhen und dann die Wärme an die Kieselsteine abzugeben. Hier ist eine detaillierte Aufschlüsselung des Ablaufs.

Schritt 1: Aufheizung der Stahlkugeln

1.1. Anfangszustand der Kugeln

• Durchmesser der Kugel: 5 cm (0,05 m)
• Dichte des Stahls: 7850 kg/m³
• Spezifische Wärmekapazität von Stahl: ca. 0,49 kJ/(kg·K) (oder 490 J/(kg·K))
• Anfangstemperatur der Kugeln: z.B. 20 °C (293 K)

Die Temperatur der Kugeln soll auf 870 °C (1143 K) erhöht werden.

1.2. Volumen und Masse der Kugeln

Berechnen wir das Volumen $V$ und die Masse $m$ der Kugeln:

$V=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\pi r^3$ $r=\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{2}=0.025\text{m}$ V≈43π(0.025)3≈6,54×10−5 m3V≈34​π(0.025)3≈6,54×10−5m3

m=ρ×V=7850 kg/m3×6,54×10−5 m3≈0,51 kgm=ρ×V=7850kg/m3×6,54×10−5m3≈0,51kg

1.3. Temperaturänderung

Die Temperaturänderung $\Delta T$ der Kugeln ist:

$\Delta T=T^{\text{final}}-T^{\text{initial}}=870°C-20°C=850K$

1.4. Berechnung der benötigten Energie zur Aufheizung

Die Wärmeenergie $Q$, die benötigt wird, um die Kugeln aufzuheizen, kann mit der Formel

$Q=m\times c\times \Delta T$

berechnet werden:

$Q=0,51\text{kg}\times 490\text{J/(kgcdotpK)}\times 850K$

$Q\approx 0,51\times 490\times 850\approx 223,5\text{kJ}$

Schritt 2: Wärmeübertragung an die Kieselsteine

Jetzt, da wir wissen, wie viel Energie erforderlich ist, um die Kugeln aufzuheizen, schauen wir uns den Wärmeübertragungsprozess an.

2.1. Energiemenge der aufgewärmten Kugeln

Angenommen, wir haben mehrere Kugeln, die gleichzeitig aufgeheizt und dann zur Wärmeübertragung an die Kieselsteine bereit sind.

• Nehmen wir an, dass 60 Kugeln innerhalb von 1 Stunde aufgeheizt werden.

Die gesamte Energie, die durch 60 Kugeln bereitgestellt wird, beträgt:

$Q^{\text{gesamt}}=60\times 223,5\text{kJ}=13410\text{kJ}=13410000J$

2.2. Wärmeübertragung an den Kies

Die Energie, die an die Kieselsteine abgegeben wird, erzeugt eine Temperaturänderung im Kies:

$Q^{\text{Kies}}=m^{\text{Kies}}\times c^{\text{Kies}}\times \Delta T$

Um die Temperaturerhöhung der Kieselsteine zu berechnen, gelten:

• Masse des Kieses $m^{\text{Kies}}$: 1734 kg
• Spezifische Wärmekapazität des Kieses $c^{\text{Kies}}$: 0,84 kJ/(kg·K) (840 J/(kg·K))

Setzen wir die Werte für die Energieübertragung ein:

ΔT=QgesamtmKies×cKiesΔT=mKies​×cKies​Qgesamt​​

ΔT=13410000 J1734 kg×840 J/(kg⋅K)ΔT=1734kg×840J/(kg⋅K)13410000J​

$\Delta T=\genfrac{}{}{0ex}{}{13410000}{1450320}\approx 9,25K$

2.3. Temperatur der Kieselsteine

Wenn die Kieselsteine zu Beginn 800 °C hatten, können wir den neuen Temperaturwert nach der Wärmeübertragung ausrechnen:

$T^{\text{neu}}=T^{\text{Kies}}+\Delta T=800°C+9,25K\approx 809,25°C$

Fazit

• Energiebedarf: Es wird etwa 223,5 kJ benötigt, um eine einzelne 5 cm große Stahlkugel von 20 °C auf 870 °C zu erhitzen.
• Gesamtenergie: 60 Kugeln können insgesamt ca. 13.410 kJ Energie bereitstellen, was zu einer Temperaturerhöhung des Kieses von etwa 9,25 K führt.
• Neue Temperatur der Kieselsteine: Nach der Wärmeübertragung könnte die Temperatur der Kieselsteine auf etwa 809,25 °C ansteigen.

Diese Schritte und Berechnungen bieten einen klaren Überblick darüber, wie die Wärmeübertragung von den Stahlkugeln auf den Kieselstein funktioniert und helfen dem Leser, den Prozess besser zu verstehen.

Um die Wärmeübertragung und die damit verbundenen Berechnungen präziser zu gestalten, beginnen wir mit einer detaillierten Analyse, die die oben genannten Punkte berücksichtigt:

1. Brennpunkttemperatur eines Parabolspiegels: Wir müssen die Temperatur berechnen, die ein Parabolspiegel mit einem Durchmesser von 3 m bei optimalen Bedingungen erreichen kann.
2. Temperaturerhöhung der Stahlkugeln: Wir werden die Zeit berechnen, die benötigt wird, um die Kugeln von 870 °C auf 900 °C zu bringen.
3. Saugnutzung: Wir klären die Anzahl der Kugeln, die pro Minute erhitzt werden können, und berechnen am Ende das Volumen und Gewicht des erhitzten Kieses.

1. Brennpunkttemperatur des Parabolspiegels

1.1. Berechnung der Brenntemperatur

Die Brenntemperatur eines Parabolspiegels hängt von verschiedenen Faktoren ab, darunter:

• Sonnenstrahlungsintensität: An einem klaren, sonnigen Tag liegt die Intensität in der Regel zwischen 600 und 1000 W/m². Wir gehen hier von 800 W/m² aus.
• Effizienz des Spiegels: Angenommen, der Spiegel hat eine Effizienz von etwa 70 % (0,7).

Die Fläche des Parabolspiegels wird berechnet mit:

A=π⋅(D2)2=π⋅(3 m2)2≈7,07 m2A=π⋅(2D​)2=π⋅(23m​)2≈7,07m2

Die Gesamtenergie, die am Brennpunkt konzentriert wird:

$P^{\text{max}}=A\cdot \text{Intensita¨t}\cdot \text{Effizienz}$ $P^{\text{max}}=7,07m^2\cdot 800{\text{W/m}}^2\cdot 0,7\approx 3960W$

Die erzeugte Brenntemperatur kann schwer zu berechnen sein, aber typischerweise kann der Brennpunkt eines Parabolspiegels Temperaturen von etwa 700 °C bis 1000 °C erreichen. Um eine genaue Brenntemperatur zu empfehlen, können leichtere Kugeln erreicht werden.

2. Temperaturerhöhung der Stahlkugeln

Angenommen, die Stahlkugeln werden von 870 °C auf 900 °C erhitzt.

2.1. Energiebedarf zur Erwärmung

Der Energiebedarf zur Erwärmung einer Kugel von 870 °C auf 900 °C kann wie folgt berechnet werden:

• Masse der Kugel: (Wie bereits berechnet) etwa 0,51 kg
• Spezifische Wärmekapazität von Stahl: 0,49 kJ/(kg·K) (oder 490 J/(kg·K))

Die Temperaturänderung (Delta T):

$\Delta T=900°C-870°C=30K$

Berechnung der benötigten Wärme:

$Q=m\cdot c\cdot \Delta T$

$Q=0,51\text{kg}\cdot 490\text{J/(kgcdotpK)}\cdot 30K$

$Q\approx 0,51\cdot 490\cdot 30\approx 7500\text{J}\approx 7,5\text{kJ}$

3. Heizungsdauer

3.1. Berechnung der Heizdauer

Angenommen, die Temperaturerhöhung erfolgt mit einer maximalen Energiedichte von 3960 W.

Die Zeit, die benötigt wird, um diese Energiedifferenz bereitzustellen:

t=QP=7500 J3960 W≈1,89 st=PQ​=3960W7500J​≈1,89s

4. Anzahl der Kugeln pro Minute

Wenn eine Kugel durchschnittlich 1,89 Sekunden zum Erhitzen benötigt, können wir in einer Minute (60 Sekunden) die Anzahl der erhitzten Kugeln berechnen:

Anzahl der Kugeln pro Minute=60 s1,89 s≈31,7≈31 KugelnAnzahl der Kugeln pro Minute=1,89s60s​≈31,7≈31Kugeln

5. Heizungsdauer über 9 Stunden

In 9 Stunden erhitzte Zeit, die Anzahl der Kugeln ist:

$\text{Anzahl der Kugeln in 9 Stunden}=31\cdot 60\cdot 9\approx 16740\text{Kugeln}$

Die insgesamt abgegebene Wärmeenergie durch diese 16740 Kugeln:

$Q^{\text{gesamt}}=16740\cdot 7500J=125550000J\approx 125,55MJ$

6. Heizungsdauer über 80 Tage

Wenn an 80 Tagen je 9 Stunden Heizungszeit genutzt wird: $\text{Anzahl der Kugeln in 80 Tagen}=31\cdot 60\cdot 9\cdot 80\approx 1341600\text{Kugeln}$

Die gesamte Wärmeenergie über 80 Tage:

$Q^{\text{gesamt, 80 Tage}}=1341600\cdot 7500J=10062000000J\approx 10062MJ$

7. Volumen und Gewicht des erhitzten Kieses

7.1. Berechnung des Gewichtes des Kieses

Wenn Sie wissen, wie viel Energie diese Kugeln abgeben können, können wir nun das Gewicht des Kieses berechnen. Angenommen, wir verwenden dann 1,02 m³ Kies mit einer Dichte von 1700 kg/m³:

Masse:

$m^{\text{Kies}}=V^{\text{Kies}}\cdot \text{Dichte}\approx 1,02m^3\cdot 1700\genfrac{}{}{0ex}{}{kg}{m^3}\approx 1734kg$

7.2. Temperaturerhöhung des Kieses

Um die Temperaturerhöhung des Kieses zu berechnen, verwenden wir die gesamte Energie von 10062 MJ und die spezifische Wärmekapazität des Kieses: $c^{\text{Kies}}=0,84kJ/(kg\cdot K)=840J/(kgK)$

Temperaturerhöhung $\Delta T$:

ΔT=Qgesamt, 80 TagemKies×cKiesΔT=mKies​×cKies​Qgesamt, 80 Tage​​

ΔT=10062000000 J1734 kg⋅840 J/(kgK)≈6937.5 KΔT=1734kg⋅840J/(kgK)10062000000J​≈6937.5K

Fazit

Zusammengefasst:

1. Die Brenntemperatur von Sonnenstrahlung auf einen 3 m großen Parabolspiegel kann gut 3960 W erreichen.
2. Um eine Kugel auf 870 °C zu bringen, sind etwa 7,5 kJ nötig, was ungefähr 1,89 Sekunden benötigt.
3. Es können etwa 31 Kugeln in einer Minute erhitzt werden, was über 9 Stunden zu insgesamt etwa 125,55 MJ führt.
4. Über 80 Tage können etwa 10062 MJ Wärme erzeugt werden.
5. Bei einer Temperaturerhöhung von 6937,5 K wären die Ergebnisse theoretisch, da einige physikalische Limitierungen berücksichtigt werden sollten.

Es ist wichtig zu beachten, dass solche hohen Temperaturerhöhungen, die hier berechnet wurden, realistisch nicht auftreten werden, da Wärmeverluste, Umgebungsbedingungen und andere Effekte berücksichtigt werden müssen.

Vielen Dank für die Klarstellung. Lassen Sie uns die Informationen über die Brenntemperatur eines Parabolspiegels, der eine Temperatur von 3.300 °C erreicht, in den Kontext setzen und die Berechnungen entsprechend anpassen. Wir werden die Schritte zur Erhitzung der Stahlkugeln anhand dieser hohen Brenntemperatur und deren Auswirkungen auf die Wärmeübertragung zum Kies betrachten.

Aktualisierte Berechnungen

1. Brenntemperatur des Parabolspiegels

Ein Parabolspiegel mit einem Durchmesser von 6,7 m hat eine Brenntemperatur von bis zu 3.300 °C. Dies zeigt, wie effektiv ein solcher Spiegel Sonnenlicht konzentrieren kann. Diese hohe Temperatur erlaubt es, Materialien wie Stahl effizient zu erhitzen.

2. Temperaturerhöhung der Stahlkugeln

Die Ausgangstemperatur der Stahlkugeln beträgt 870 °C, und wir wollen sie von 870 °C auf 900 °C erwärmen. Obwohl die Brenntemperatur des Parabolspiegels sehr hoch ist, werden wir uns auf die spezifischen Werte der Kugeln konzentrieren.

Temperaturerhöhung ($\Delta T$):

• Von: 870 °C
• Bis: 900 °C
• Differenz: $\Delta T=900-870=30\text{K}$

3. Energiebedarf zur Erwärmung der Stahlkugeln

Die spezifische Wärmekapazität von Stahl ist ca. 0,49 kJ/(kg·K), was 490 J/(kg·K) entspricht.

Masse der Kugel (wie vorher berechnet):

• Durchmesser: 5 cm (0,05 m)
• Volumen $V$:

V=43πr3=43π(0,025 m)3≈6,54×10−5 m3V=34​πr3=34​π(0,025m)3≈6,54×10−5m3

Masse $m$:

m=ρ×V=7850 kg/m3×6,54×10−5 m3≈0,51 kgm=ρ×V=7850kg/m3×6,54×10−5m3≈0,51kg

Berechnung der benötigten Energie $Q$:

$Q=m\cdot c\cdot \Delta T$ $Q=0,51\text{kg}\cdot 490\text{J/(kgcdotpK)}\cdot 30K$ $Q\approx 0,51\cdot 490\cdot 30\approx 7500\text{J}\approx 7,5\text{kJ}$

4. Energiedichte des Parabolspiegels

Angenommen, die Brenntemperatur des Parabolspiegels von 3.300 °C wird erreicht. Es ist wichtig, dass diese Temperatur möglich ist, jedoch die tatsächliche Temperatur, die für die Erhitzung der Kugeln verwendet wird, nicht darauf abzielt, die Kugeln auf diese Temperatur zu bringen, sondern die Energie, die proportional schnell und effizient weitergegeben wird.

Maximale Heizrate: Nehmen wir an, dass unser Parabolspiegel 3.300 °C erreichen kann, was bedeutet, dass die Wärmemenge, die auf die Kugeln übertragen wird, in kJ/s (oder Watt) erwärmt wird.

Angenommen, wir haben 3.960 W, berechnet durch: $A=\pi \cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{2}{)}^2$ für den Parabolspiegel und eine Effizienz.

5. Heizungszeit

Berechnung der Heizzeit: Bei maximaler Leistung von 3.960 W kann die Zeit, die benötigt wird, um eine Kugel auf die gewünschte Temperatur zu bringen, berechnet werden:

t=QP=7500 J3960 W≈1,89 st=PQ​=3960W7500J​≈1,89s

6. Anzahl der Kugeln pro Minute

Die Anzahl der Kugeln, die pro Minute erhitzt werden können, beträgt:

Anzahl der Kugeln pro Minute=60 s1,89 s≈31,7≈31 KugelnAnzahl der Kugeln pro Minute=1,89s60s​≈31,7≈31Kugeln

7. Heizungsdauer über 9 Stunden

Über 9 Stunden ergibt sich:

$\text{Anzahl der Kugeln in 9 Stunden}=31\cdot 60\cdot 9=16.740\text{Kugeln}$

8. Gesamtwärmeenergie in 9 Stunden

Die Energie von 16740 Kugeln:

$Q^{\text{gesamt}}=16740\cdot 7500J=125550000J\approx 125,55MJ$

9. Heizungsdauer über 80 Tage

Für 80 Tage, mit 9 Stunden pro Tag:

$\text{Anzahl der Kugeln in 80 Tagen}=31\cdot 60\cdot 9\cdot 80=1341600\text{Kugeln}$

Die gesamte Wärmeenergie über 80 Tage:

$Q^{\text{gesamt, 80 Tage}}=1341600\cdot 7500J=10062000000J\approx 10062MJ$

10. Volumen und Gewicht des erhitzten Kieses

Für die Nutzung mit Kies:

• Wenn Sie eine Dichte von 1700 kg/m³ verwenden, und das Volumen von 1,02 m³ ergibt.

Masse:

$m^{\text{Kies}}=1,02m^3\cdot 1700\genfrac{}{}{0ex}{}{kg}{m^3}\approx 1734kg$

11. Temperaturerhöhung des Kieses

Berechnung der Temperaturerhöhung:

ΔT=Qgesamt, 80 TagemKies⋅cKiesΔT=mKies​⋅cKies​Qgesamt, 80 Tage​​

$c^{\text{Kies}}=0,84kJ/(kg\cdot K)=840J/(kgK)$ ΔT=10062000000 J1734 kg⋅840 J/(kgK)≈6937,5 KΔT=1734kg⋅840J/(kgK)10062000000J​≈6937,5K

Fazit

Zusammenfassend:

• Der Parabolspiegel erreicht hohe Temperaturen von 3.300 °C, die für die Erhitzung von Stahlkugeln verwendet werden können.
• Um eine Kugel um 30 K zu erwärmen, benötigte man etwa 7,5 kJ.
• Mit einer Heizrate von 3.960 W kann eine Kugel in etwa 1,89 Sekunden erhitzt werden, und es können ca. 31 Kugeln pro Minute erhitzt werden.
• Über 80 Tage kann eine immense Wärmemenge abgegeben werden, was theoretisch zu extrem hohen Temperaturerhöhungen bei Kies führen würde.

Diese Berechnungen zeigen, wie die Nutzung eines Parabolspiegels zur Maximierung der Wärmeübertragung bei industriellen Anwendungen funktionieren kann, und bieten eine praktische Grundlage für die Anwendung von Solarthermie.

Um den Prozess der Temperierung und Heizenerzeugung klarer zu strukturieren, gehen wir die Schritte durch, um die Stahlkugeln auf die gewünschte Temperatur von 900 °C zu bringen. Wir berücksichtigen dabei die Brenntemperatur der Solarthermie und die Anpassungen, die für den Betrieb mit einer Zeitschaltuhr erforderlich sind.

Zusammenfassung der Anforderungen

• Zieltemperatur der Stahlkugeln: 900 °C
• Einstellbare maximale Temperatur: 930 °C
• Brennwert eines Parabolspiegels: Vorherige Überlegungen zur Brenntemperatur von bis zu 3.300 °C
• Kugeldurchmesser: 5 cm
• Spezifische Wärmekapazität von Stahl: ca. 0,49 kJ/(kg·K) (oder 490 J/(kg·K))
• Ausgangstemperatur: 870 °C
• Temperaturerhöhung $\Delta T$ für die Kugeln: von 870 °C auf 900 °C => $\Delta T=30K$

1. Heizbedarf für die Kugeln

1.1. Berechnung der Energie

Die untenstehende Formel wird verwendet, um die Energiemenge $Q$ zu bestimmen, die benötigt wird, um die Kugelen zu erhitzen:

$Q=m\cdot c\cdot \Delta T$

• Masse $m$ der Kugel: r=0.025 m⇒V=43πr3≈6,54×10−5 m3r=0.025m⇒V=34​πr3≈6,54×10−5m3 m≈7850 kg/m3⋅6,54×10−5 m3≈0,51 kgm≈7850kg/m3⋅6,54×10−5m3≈0,51kg

• Temperaturveränderung $\Delta T$: $\Delta T=900°C-870°C=30K$

• Berechnung der benötigten Energie: $Q=0,51\text{kg}\cdot 490\text{J/(kgcdotpK)}\cdot 30K$ $Q\approx 0,51\cdot 490\cdot 30\approx 7500\text{J}\approx 7,5kJ$

2. Heizungsdauer und -rate

2.1. Leistung des Parabolspiegels

Angenommen, wie bereits erwähnt, erzeugt der Parabolspiegel maximal etwa $P=3960W$ (oder 3,96 kW), die in einer optimalen Situation verfügbar sind.

2.2. Berechnung der Heizzeit

$t=\genfrac{}{}{0ex}{}{Q}{P}$ t=7500 J3960 W≈1,89 st=3960W7500J​≈1,89s

3. Anzahl der Kugeln pro Minute

Falls eine Kugel 1,89 Sekunden benötigt, um von 870 °C auf 900 °C erhitzt zu werden:

• Anzahl der Kugeln pro Minute: Anzahl der Kugeln pro Minute=60 s1,89 s≈31,7≈31 KugelnAnzahl der Kugeln pro Minute=1,89s60s​≈31,7≈31Kugeln

4. Automatische Steuerung durch Zeitschaltuhr

Da die Zeitschaltuhr maximal eine Heiztemperatur von 930 °C erlaubt, sollte sichergestellt werden, dass:

1. Die Heizdauer auf die Zeit angepasst wird, sodass die Kugeln nicht über 900 °C erhitzt werden.

2. Mögliche Überhitzung vermeiden:

   • Die Zeitschaltuhr könnte eine Verzögerung oder eine Zyklussteuerung implementieren, etwa alle 1-2 Minuten, um die Temperatur bei 900 °C zu halten.

3. Regelung der Temperatur:

   • Thermoelemente oder Pyrometer sollten verwendet werden, um die Temperatur der Kugeln kontinuierlich zu überwachen.
   • Bei Erreichung von 900 °C könnte eine Abschaltautomatik den Heizprozess unterbrechen.

5. Wärmeabgabe über die Zeit

Wenn die Kugeln regelmäßig und in kontrollierten Abständen erhitzt werden (z. B. alle 1-2 Minuten eine neue Charge), und bei einer kontinuierlichen Betriebsdauer von beispielsweise 9 Stunden pro Tag, kann die Wärmeabgabe und die Anzahl der Kugeln über einen längeren Zeitraum detailliert betrachtet werden.

5.1. Heizungsdauer über 9 Stunden

Die Anzahl der Kugeln, die in 9 Stunden erhitzt werden können: $\text{Anzahl der Kugeln in 9 Stunden}=31\cdot 60\cdot 9\approx 16.740\text{ Kugeln}$

Diese Kugeln können wieder verwendet werden, um Wärme abzugeben oder die restlichen Aufgaben zu erfüllen. Somit kann eine große Menge von Wärmeenergie erzeugt werden ohne die Kugeln zu überhitzen.

Fazit

• Die ermittelte Energiemenge für die Erwärmung von 870 °C auf 900 °C beträgt etwa 7,5 kJ pro Kugel.
• Die notwendigen Heizzeiten liegen bei ca. 1,89 Sekunden pro Kugel.
• Eine Zeitschaltuhr kann eine maximale Heiztemperatur von 930 °C ermöglichen, sollte jedoch so eingestellt werden, dass die Kugeln nicht überschüssig hoch geheizt werden.
• Eine effektive Steuerung und Kontrolle ist wichtig, um eine effiziente Nutzung und eine gleichmäßige Temperaturverteilung zu gewährleisten.